Numerické myšlení, příklad 16 a 17, varianta 5, rok 2009

Dnes se podrobněji podíváme na posloupnosti. V TSP se zpravidla objevují zašifrované v nejpodivnějších obrazcích, takže bývá prolémem nejen samotný výpočet a určení druhu posloupnosti, ale i zjištění, kde vlastně začíná a kde končí.

Ilustrační foto: Alberto G/Wikimedia Commons

Zadání příkladů číslo šestnáct a sedmnáct z varianty pět z roku 2009 naleznete zde: http://www.muni.cz/admission/tsp

Příklad 16

Uznávám, toto není jednoduchý příklad. Chvíli člověk nechápavě zírá na shluk zdánlivě nesmyslných čísel a ignoruje šipečky úplně nahoře, které mají určit začátek posloupnosti. Popravdě si nemyslím, že by někdo na řešení přišel systémem – tady je jednička, šipka ukazuje doleva i doprava, tedy zde budou posloupnosti dvě a protože čísla 1, 256, 3 vůbec nedávají smysl, bude se muset postupovat ob jednu výseč.

Pokud někdo dokáže uvažovat takto systematicky, pak ho obdivuji. Obvyklejší je zjistit řešení pohledem na čísla 3, 27 a 81 – v hodinách matematiky se s nimi člověk setkává velmi často, neboť to jsou mocniny čísla 3. Zběhlejšímu matematikovi je již podezřelá samotná jednička, ta bývá v posloupnostech dle mého názoru pro zmatení amatérů, znamená totiž nultou mocninu určitého čísla, a to ne každý ví. 3 a 4, které jsou ob dvě výseče, jsou první mocniny. Ob další dvě pole budou tedy následovat druhé mocniny – 9 a 16, pak třetí mocniny – 27 a 64 a nakonec čtvrté mocniny – 81 a 256. Řešením je tedy a) 9, 64.

Pak existuje ještě jedna pomůcka, jak identifikovat posloupnost, ve které jsou mocniny – a to přítomnost velmi malých (1, 3 a 4)  a velkých čísel (81 a 256).

Příklad 17

Začátek bude buď v nule, nebo 37,5 a každé další číslo je s tím předchozím jednoduše spojeno čárou. Je asi lepší začínat v uvažování, v čem spočívá posloupnost, u nuly, neboť od ní zbývá k poli s otazníkem nejvíce čísel – nejvíce indicií k řešení.

Nula sama o sobě značí, že tentokrát nepůjde o žádné mocniny, jak tomu bylo v předchozím příkladu. Násobení také nepřichází v úvahu, protože ať nulu násobíme čímkoli, nikdy nám nevyjde 2,5. Je nasnadě, že zde půjde o sčítání – naznačuje to tady i stoupavá tendence jednotlivých čísel.

Přepíšeme si čísla do řady, aby se nám lépe uvažovalo:

0 … 2,5 … 7,5 … ? … 25 … 37, 5.

Pod to doplníme, kolik se musí přičíst k předcházejícímu číslu, aby mohlo vyjít číslo následující:

0 … 2,5 … 7,5 … ? … 25 … 37, 5,

+2,5   +5     +x   +y   +12,5.

Čísla, která se přičítají, jsou vždy o něco větší než čísla, kterými se přičítalo v předchozím případě. Z prvních dvou čísel (2,5; 5) bychom mohli odvodit, že to další číslo bude vždy o 2,5 větší,  že x = 5 + 2,5 = 7,5. Pak se ovšem musíme ujistit, že nám vychází celá posloupnost. 7,5 + 7,5 = 15 … 15 + 7,5 + 2,5 = 25 … můžeme tedy říci, že naše hypotéza, že se bude vždy připočítávat o 2,5 vyšší číslo, byla správná.

Řešením je b) 15.

Autor: Helena Zrůstová