Priestorová predstavivosť, príklad 37, varianta 5, rok 2009

Tento príklad hovorí o doske a tyčiach s ňou spojených (tak, že pri prechode doskou sú prepolené na dve rovnako dlhé časti), pričom celý útvar má byť okolo osi prechádzajúcej kolmo stredom dosky otočený o 180 stupňov. Nie je to až tak na predstavivosť náročná úloha, ako by sa na prvý pohľad mohlo zdať. Dá sa jednoducho vysvetliť cez osovú súmernosť, avšak  u tých, ktorí v súmernostiach nie sú až tak doma, vyžaduje dosť veľké sústredenie.

Ilustrační foto: Alberto G/Wikimedia Commons

Zadanie príkladu číslo tridsaťsedem z varianty päť z roku 2009 nájdete tu: http://www.muni.cz/admission/tsp

Predstavte si stojan s pohľadnicami, aký bežne nájdete v papiernictvách, ale namiesto niekoľkých ramien bude mať len dve. Úplne rovnakým spôsobom, ako otáčate týmto stojanom, aby ste si pozreli pohľadnice z oboch strán, funguje aj doska z nášho príkladu.

Povedzme, že v priečkach na pravom ramene spredu budú pohľadnice s obrázkom kvetov, zozadu na tom istom  ramene sú na pohľadniciach obrázky zvierat, ďalej na ľavom ramene spredu sú pohľadnice mesta a zozadu sú na pohľadniciach obrázky áut. Keď ramená z tohto stojanu otočím o stoosemdesiat stupňov, pozície pohľadníc sa zmenia nasledovne: napravo spredu autá, napravo zozadu mesto, naľavo spredu zvieratá a naľavo zozadu kvety. Každé slovo označujúce umiestnenie sme vlastne „obrátili o stoosemdesiat stupňov“. Vľavo sa zmenilo na vpravo, vzadu na vpredu a naopak (neplatí pre umiestnenie na vrchnej alebo spodnej časti dosky, tieto sa zachovávajú). Ak je vám jasný tento princíp, jeho adaptácia na náš príklad je už veľmi jednoduchá.

Pozrime sa teda na obrázok v zadaní. Kolmo k pozorovateľovi vystupuje z dosky prvá tyč z vrchnej časti dosky na jej pravej strane. Po otočení dosky musíme túto tyč hľadať naľavo, pričom keďže pretína dosku priamo (kolmo k pozorovateľovi), nezmení sa ani jej smerovanie (iné tyče pretínajú dosku šikmo, u nich budeme smerovanie porovnávať). Hľadáme teda rovnaký tmavý kruh, aký je aj na obrázku zo zadania, ale na opačnej strane.

Tejto podmienke nevyhovuje len možnosť B (tmavý kruh je zobrazený v spodnej časti dosky), preto ju vylúčime.

Druhá tyč v zadaní pretína dosku v jej pravej časti smerujúc šikmo doprava dolu (sledujeme tmavý kruh, ten znamená koniec tyče). Po otočení bude druhý koniec tejto tyče dosku pretínať v jej ľavej časti. Pričom keď si predstavíme šikmé preťatie dosky (napríklad preložte si jeden prst cez druhý približne tak, ako sú vo filmoch zobrazované meče pripevnené na stenách/ vrchný bude prst pravej ruky, ten akoby reprezentoval našu tyč), bude tento koniec smerovať dohora. Najťažšie je určiť poslednú vec, a to smerovanie konca tyče po otočení dosky doprava hore alebo doľava hore? (Vaše prekrížené prsty sa o stoosemdesiat stupňov otáčajú trošku ťarbavo, ale dá sa to – zistíte, že vrchný prst reprezentujúci našu tyč smeruje naozaj hore a presnejšie doprava hore).

Toto by bolo akési obrazné vysvetlenie. Pre tých, ktorým v matematike osová a stredová súmernosť nerobila problémy, sa dá príklad vysvetliť v nasledujúcich dvoch vetách: Dokreslite si prerušovanou čiarou pokračovanie tyče priamo do obrázku. (Predpokladám, že s tým, ako sa premietne po otočení vrchná tyč, nemá nikto problém, preto sa zameriavam len na tú spodnú). Ak máte tyč dokreslenú, jediné, čo s týmto nákresom urobíte, je, že ho premietnete podľa osovej súmernosti (vaša os je ekvivalentná s osou z obrázka v zadaní).

Správna odpoveď je teda C, pretože jedine tam spodná tyč smeruje doprava hore.

Autor: Dana Lennerová