Symbolické myšlení, příklad 30, varianta 5, rok 2009

Autoři TSP tentokrát vytvořili úlohu, která by se také dala bezpochyby zařadit do velmi neoblíbené kategorie – numerické myšlení. Čtyři rovnice, pět neznámých, lze to vůbec spočítat? Pojďme se poprat s asi nejobtížnější úlohou v oddílu symbolické myšlení.

Ilustrační foto: Alberto G/Wikimedia Commons

Zadání příkladu číslo třicet z varianty pět z roku 2009 naleznete zde: http://www.muni.cz/admission/tsp

Symboly jsou čtyři neznámé, otazník je pátou neznámou. Počítat se dá teoreticky i se symboly a otazníkem, ale pro většinu lidí je to nezvyklé a matoucí. Nemluvě o tom, že překreslování zabere dost času. Doporučuji tedy používat písmena – běžné označení neznámých v matematice.

 

♥ = a

♦ = b

♣ =c

♠ = d

? = x

Přepíšeme rovnice do této podoby:

a = 2b

c = -2d

a = b + d

a = xc

Teď zapomeňte na to, že byste postupně doplňovali za x jednotlivé možnosti řešení. To vás jen zdrží. Začněme tím, že se zamyslíme, čeho chceme ve výpočtu dosáhnout. Ze současných čtyř rovnic nic nedovodíme, je tedy třeba převést je na jednu jedinou, kde by byl co nejmenší počet neznámých. Samozřejmě ve výsledné rovnici musí být neznámá x a pak ještě jedna, kterou si nyní určíme. B, c i d se vyskytuje v rovnicích pouze dvakrát, zato a třikrát, což znamená, že nejjednoduší bude ze současných rovnic vyeliminovat neznámé b, d, c. Prakticky se to provede takto:

Vyjádříme si b, c, d z původních rovnic za pomoci neznámých a a x.

Z první rovnice … b = a/2

Ze čtvrté rovnice … c = a/x (x musí být různé od nuly)

Ze třetí rovnice … d = a – b … zde ještě můžeme upravit rovnici pomocí b vyjádřeného o dva řádky výše … d = a – a/2 … d = a/2

Pak dosadíme do druhé, ještě nepoužité, rovnice.

c = -2d

a/x = -2a/2

a/x = -a

a= -ax

x = -1

Řešením  je tedy možnost b).

Autor: Helena Zrůstová